338 比特位计数

标签: 位运算, 动态规划

题目

题目链接：338 比特位计数

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,1] 示例 2:

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
进阶:

    给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)内用一趟扫描做到吗？
    要求算法的空间复杂度为O(n)。
    你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。

思路

1. 主要思路：找规律（动态规划的状态转移）
   1. $偶数$ 的 1 的个数 = $\frac{该偶数}{2}$ 的 1 的个数
   2. $奇数$ 的 1 的个数 = 「$该奇数 - 1$ 的 1 的个数」+ 1
2. 🌰：
   1. 20
      1. $20$ 的二进制：10100, 1 的个数为 2；
      2. $\frac{20}{2} = 10$ 的二进制：1010，1 的个数为 2；
      3. 规律：$20$ 是在 $10$ 的基础上 乘 2；
      4. 在位运算中的表现为：$10$ 左移一位得到 $20$，因此 1 的个数的相同的。
   2. 27
      1. $27$ 的二进制：11011, 1 的个数为 4；
      2. $26$ 的二进制：11010, 1 的个数为 3；
      3. 规律：$27$ 是在 $26$ 的基础上 加 1；
      4. 在位运算中的表现为：$27$ 的二进制中 1 的个数比$26$ 的二进制中 1 的个数多 1 个。

代码

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        res = [0] * (num+1)
        for i in range(num+1):
            if i % 2 == 0:
                res[i] = res[i//2]
            else:
                res[i] = res[i-1] + 1
        return res

分析

1. 时间复杂度需要 O(n)，一次线性遍历即可；
2. 空间复杂度需要 O(n)，保存结果。